振动基础:固有频率VS共振频率

在日常分析中，我们经常将固有频率和共振频率混淆在一起，认为它们是一回事，其实这是不严谨的，固有频率是结构固有特性的表现，而共振频率是结构在受外力时响应的表现。

单自由度弹簧系统自由振动
单自由度系统指在任意时刻只要一个广义坐标即可完全确定其位置的系统。话句话说，物体受的合力只沿一个方向。下图玩偶的运动可以由弹簧-质量系统组成。

该弹簧-质量系统的简化模型可如下图所示。

取物块的静平衡位置为坐标原点，沿弹簧变形方向铅直向下为正。当物块距离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程可表示为:

其中，m 为物块质量，k为弹簧刚度，c为粘阻系数，2n=c/m 表示阻尼衰减系数，阻尼系数为零时对应无阻尼振动系统。

固有频率pn:

固有频率只与质量和刚度两个因素有关，与阻尼等其它因素无关。结构边界连接方式、材料特性、形状等因素会影响固有频率，但最终也是体现到刚度和质量两个因素上，这些不是最终影响因素。

弹簧系统简谐激励作用下的受迫振动
自由振动是系统不受外界激励下的振动，运动轨迹与初始状态和固有特性有关。而受迫振动是指系统在外界激励下产生的振动。

外界激励一般为时间的周期函数或者非周期函数，其中，简谐激励是最简单的激励。设简谐激振力为

其中，H为激振力的幅值，ω为激振力的角频率。
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为

其中，h=H/m，上式为具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。
上式和我们在电路理论中学习到的容感负载电压响应表达式完全一致，都是二阶常系数线性非齐次常微分方程，电路中的阻尼靠的是电阻，因为电阻只消耗不储存能量。由此感慨下，不同学科间的知识是何其相似!!!
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解设为:

其中，x1(t)为齐次解，做自由衰减振动;由于阻尼的存在，衰减振动部分经过一定的时间之后就会消失，其解与自由振动时的一样，此处不再赘述。我们这里关心因为受迫振动产生的特解 x2(t )，其可以表示为:

其中：

稳态受迫振动的振幅大小和相位滞后差与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。设频率比、阻尼比和振幅放大系数分别为:

上式可改写为:

据此，我们就知道受迫振动下系统的响应，为更清晰明了，可以画出不同的阻尼比、频率比和振幅放大系数之间的关系。

将频率划分为低频区、中频区和高频区三部分，由上图可看出，在低频区和高频区，当阻尼对振幅放大系数的影响不大，为简化计算可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。

固有频率 & 共振频率
上文说过，固有频率是系统结构特性的表现，只与质量和刚度两个因素有关，与阻尼等其它因素无关，n 自由度系统存在n个固有频率，连续系统存在无数多个固有频率。
结构的共振会导致不可预料的行为，共振出现在结构或材料在外界特定激励频率下发生大幅度自然振动时的频率，是按外界的激励频率来讲的，是激励响应的表现。
上图中蓝色圈表示的即为该系统下的共振频率，当结构的阻尼非常小时，共振频率近似等于结构。的固有频率:但是当结构的阻尼较大时，共振频率要小于结构的固有频率，两者并不一致。
在进行系统设计时不仅仅需要考虑躲避共振峰单一频率，还要避开共振峰附近共振带，对应上图中的中频区，因为共振带范围内的响应都很大;既要保证不受自身设备正常工作的影响，也要考虑不受其他设备结构和激励的影响。
共振会引起吊梁倒塌、地面共振、机器损坏和次声波危害等，但是振动并不一定是有害的，比如乐器可以利用共振发声的，有利有弊。

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