湍流的解析方程与湍流的普遍性质
责任编辑:沐小月     时间:2021-11-24     来源:正脉科工 CAE
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湍流的解析方程和相应的解析解,被定义为世纪难题。由于科学网上有不少热爱科研的网民,其中有关心湍流问题的,因此本文把我最近几年的研究结果给出一个哲学性论述。希望对于有关研究者开拓思路有所帮助。

 

从实验上看,湍流现象类的实验很多,经验性的关系总结也很多。从数值模拟上看,大多数实验结果也能大致的由数值解得到。因此,对于实验力学和计算力学来说,湍流的方方面面的性质都已经被实验所揭示。
 

 

从理论上看,则缺乏关于湍流的理论解。已经知道的是:湍流的运动方程是非线性的,所以也基本上不认为有解析解。

 

在2019年,应用陈至达的变形张量S+R分解理论,对于零压力梯度的壁面流动,得到速度剖面U(y) 理论方程的形式为U’’=-(1/v)(1-cosA)U。它是一个以函数为系数的谐波方程。式中,依赖于速度的一次偏导数,为描述微元体涡旋性质的局部转动角参数。

 

已经证实的是,普朗特的对数律速度就是方程的理论解。因此,可以认为:对于理想的壁面流动,理论解与实验解是吻合的。

 

由这个方程,随着壁面距离的增大,湍流的尺度是从超高波数的微小尺度演化为趋于零波数的超大尺度。而这种演化局部转动角函数的变化。有三个特征是明显的:

 

大局部转动角区域,cos几乎为零。充分发育的湍流在本质上就是谐波方程的解。因此,湍流的谱描述是普遍有效的。

 

微小局部转动角区域,cosA 几乎为1。湍流不发育,流动解表现为近似的线性解。这是经典流体力学。

 

最为复杂的,也就是最为关心的湍流区域是cosA 从不能近似为1演化到接近于0的区域。这个区域的已知实验解是功率谱的-5/3律,把波数作为自变量。

 

目前,能确切外推的一般性湍流方程形式为:在涡旋中心系下的普遍方程U’’=-(1/v)(1-cosA)U+F(U),这里,F(U) 指其它次要因素项。式中,速度为3维矢量形式,为3维的微元体局部转动角。

 

通过这个壁面流理论方程特例:可以确认的是,用陈至达的变形张量S+R 分解理论给出的加速度取代欧拉方程的加速度,就可以得到湍流的普遍有效方程。但是,由于局部转动角函数需要首先确定(假设或是经验性关系确定),因此,普遍有效的解析解是难于得到的。

 

这就需要实验研究的介入。由于局部转动角是涡旋的几何特征,所以会出现如下问题:

 

对于一个涡旋群,在小尺度微元体度量时,局部转动角很大;而在取大尺度微元体时,局部转动角很小。实验上,局部转动角表现为尺度的周期性函数。这个问题被批判为:尺度依赖性。它的后果是:湍流解依赖于尺度的选择(所取的局部转动角函数)。哲学上看,这就会有争论:对于客观上的同一个湍流运动,在不同尺度选择下,给出不同的理论解。是是非非?

 

数学上,严格的加速度公式是用李导数来证明的。因此,用S+R 导出的微元体加速度与李导数虽然在本质上一致,但是在力学(物理)解释上区别很大。而普遍接受的是基于李导数的欧拉方程,或是NS方程,因此,对于这里给出的壁面流方程以及湍流的普遍方程,在理论界几乎没有支持性文献。

 

因此,何去何从取决于个人的哲学判断。


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