这个案例，选取的是核电站核岛部件，进行功率谱密度（power spectral density，PSD）分析。叙述了核岛对地震事件响应的分析方法，其中考虑了地震动非相干（motion incoherency）和行波（wave-passage）效应。

突出显示了以下特性和功能：

（1）高模态密度大型壳型结构的模态分析；

（2）使用强制位移的功率谱密度（PSD）分析；

（3）捕捉地震动非相干和行波效应。

34.1 概述

功率谱密度（power spectral density，PSD）分析，是研究结构在随机输入下响应的一种常用方法。它是一种统计测量，定义为结构响应的极限均方根（root-mean square，RMS）值。在这种分析方法中，只能通过概率分布函数，来指定响应的震级，该函数表示震级取特定值的概率。假设随机输入的均值为零，其值为高斯分布。

案例使用了PSD分析，模拟核电站（nuclear power plant，NPP）核岛（nuclear island，NI）部件对地震事件的响应，同时考虑了发生在基础不同位置的地面运动之间的部分相关性。这种效应被称为地震动非相干（ground motion incoherency，GMI），在附近断层产生短时高频波的情况下，具有特殊意义。

地震动非相干（ground motion incoherency，GMI），包括水平和垂直地面运动的空间变化。地震地面运动的水平空间变化，它是以下三种现象结合的结果：

（1）行波（wave-passage）效应：地震波在不同位置到达时间的差异。

（2）非相干（incoherence）效应：在地震波的传播过程中，通过土壤的反射和折射，以及来自不同位置的扩展源的波，由它们的叠加而产生。

（3）局部效应：由每个位置的局部土壤条件引起。

地震记录中的地面运动，在高频成分中，表现出空间非相干性[1-2]。因此，要准确预测结构的响应，就必须考虑这些效应。由于行波效应和非相干效应，通过考虑岩土条件，可以观察到这些效应引起的空间变化。

对于位于铁路线附近的音乐厅等建筑物的结构，采用本文提出的方法，也可用于估算这些结构的声辐射。更一般地，同样的方法，可以应用于任何涉及具有已知统计特性（涉及频率和空间）的入射场和/或波（an incident field and/or wave）的模拟，例如汽车挡风玻璃或火箭喷管。

34.2 问题描述

对均匀基础运动激励下的结构进行分析，是一项常见的任务，通常使用响应谱分析（response spectrum analysis，RSA）等工具来完成。考虑地震动非相干（ground motion incoherency，GMI），需要额外的建模工作和计算资源，其好处是，减少了频谱高频的响应。这个案例演示了，用功率谱密度（power spectral density，PSD）分析，确定折减比（reduction ratio）的方法。

建立了典型现代核电站（nuclear power plant，NPP）核岛（nuclear island，NI）部件模型。该模型包括一座反应堆厂房和四座辅助厂房，均位于一个基础垫层上。每栋楼有五层。总平面尺寸为100 x 100 m2。建筑高度范围为40-50m。

图34.1 核电站尺寸示意

该结构由附近断层产生的典型地面运动激发。这一事件产生一个高振幅，短持续时间，高频地震。这种荷载通常以地震加速度反应谱（ground motion response spectrum，GMRS）的形式施加，GMRS提供一系列单自由度（SDOF）系统的峰值响应。Xu和Samadar[1]选择的地震加速度反应谱在这里使用，如图34.2所示。

图34.2 地震加速度反应谱（5%）

典型的美国东部站点的地震加速度反应谱特征，是在高频范围（>10Hz）内，具有高能量含量。

地震动非相干（ground motion incoherency，GMI），对响应的影响可以使用随机方法或确定性方法，进行合并[6]。这里使用确定性方法。以下相干函数，描述了不同位置的地面运动之间的关系，作为分离距离和地面运动频率的函数[2]：

（1）滞后一致函数；

（2）平面波相干函数；

（3）无标记的一致性函数。

平面波相干函数用于这个例子，因为它适用于类似岩石的土壤条件。函数表示为：

式中，γpw是表示地震随机水平空间变化的平面波相干度，F是地震频率，ζ是位置之间的间隔距离，单位为米，tanh是双曲正切函数。下表给出了水平和垂直地面运动的所有其他参数：

相干函数被绘制为各种分离距离的频率函数，如图34.5所示的EPRI-TR 1014101 水平方向的平面波相干模型。

34.3 建模

使用四节点壳单元（SHELL181），对整个构筑物进行网格划分。壁厚和板厚均匀（1m），底板厚度为2m。

基于要解析的最短波长，确定网格大小。在这种情况下，可使用经典公式[3]预测弯曲波长：

式中，λb是弯曲波长，b是单位长度的板弯曲惯性，ω是圆频率，m’’是单位长度的板质量。

规定了50Hz的截止频率，其弯曲波长约为12米。每波长使用六个单元就足够了，网格大小为2m。

图34.3 核电站的有限元模型（网格尺寸适用于50 Hz截止频率）

为了简化问题，以便更好地说明方法，使用以下假设：

（1）忽略土-结构相互作用（Soil structure-interaction，SSI）效应

忽略的影响包括反射回土壤/结构界面的波和结构运动后辐射的波的影响。对于非常坚硬的岩石状土壤情况，这种假设是保守的。可将载荷模拟为边界处的强制位移（或加速度）。

（2）结构内部的阻尼是均匀的。

严格的处理，需要区分预应力（外壳和穹顶）和钢筋混凝土阻尼部分。由于大部分结构由钢筋混凝土制成，所以采用均匀阻尼。这一假设是有效的，因为预计高频地震，不会对建筑物造成重大破坏。高频事件，对大型延性混凝土结构的危害较小；但是，对较小、较硬的物体（如次要构件）的危害更大。

34.4 材料特性

使用典型的未受损钢筋混凝土材料模型：

34.5 边界条件和载荷

在基础节点的所有自由度是全固定的，如图34.3所示的核电站结构的有限元模型（网格尺寸适用于50 Hz截止频率）。假设基底完全遵循自由场地震动。

34.5.1 载荷

可能的单自由度（SDOF）系统峰值响应（响应谱）与输入信号的PSD有关，使用以下关系[5]：

其中G为单侧地震动加速度PSD（（m/s2）2/Hz），ζ为阻尼比，F为激励频率，Sa（F，ζ）为加速度反应谱，T0为地震持续时间（s）。

假设地震持续5秒，可获得以下加速度功率谱密度（power spectral density，PSD）

图34.4：地震功率谱密度（加速度功率谱密度）

加速度功率谱密度（PSD）需要进行单点（相干）PSD分析。在多个部分相干激励的情况下，有必要执行以下附加任务：

（1）计算与所使用的每个区域相关的参与系数。

（2）计算每对区域对总体响应的直接参与和交叉参与。

根据中心频率和空间相干模型选择合适的区域大小。图34.5所示的相干曲线用于确定区域的最小大小。

图34.5  EPRI-TR 1014101 水平方向的平面波相干模型

根据定义，相干函数是相干输入的统一。结果表明，相干函数在低频（小于5Hz）时接近于单位值，且随频率和自由场观测点间距的增大而减小。因此，高频振动模态的响应振幅可能会降低。

在给定的频率下，如果相干值接近一个单位值（或大约高于0.6），则两点经历相关运动。

当频率为15Hz（PSD曲线的峰值）时，两个相距超过5m的点的相干性低于0.6。严格地说，应使用5 m的区域尺寸；对于100 x 100 m的方形基础材料，因此需要20 x 20=400个区域。这里，使用10 m区域大小来缓和问题大小，同时捕获主要现象。

为了捕捉行波效应，应使用小于波长的区域。为简化分析，假设核电站由水平传播方向的波激发，波长等于：

其中，λ为波长，Fcut为截止频率，Cs为土壤剪切波速。

截止频率为50Hz，土壤剪切波速为3000m/s，产生的主波长为60m。根据每个波长至少六个区域，输入区域大小为10m。

43.6 分析和求解控制

PSD分析分三步进行：

（1）对整个核电站核岛进行模态分析。

（2）使用强制位移执行功率谱密度（PSD）分析。

（3）评估功率谱密度（PSD）分析的响应（RPSD）。

43.6.1 步骤1 模态分析

使用Block Lanczos特征值求解器进行模态分析，该特征值求解器非常适合从中等大小的模型（在这种情况下小于50K自由度）中提取中等数量的模态（几百个）。

由于不需要单元结果，只需要节点解（节点位移和旋转）。

一般情况下，板式结构在中频范围内具有恒定的模态密度。如图34.6所示，给定频率范围内的模态数在22Hz以上近似恒定。

图34.6 恒定模态密度检查

以下输入命令流显示了所涉及的分析步骤：

/solu

antype,modal            !执行模态求解

modopt,lanb,150,-1.0,50    ! Block Lanczos 特征值求解器，提取150阶，频率范围-1Hz~50Hz

outres,all,none

outres,nsol,all            ! 只输出节点求解结果数

solve

finish

/com, Modes selection based on mode coefficients (ModSelMethod=MODC)

!基于模态系数的模态选择

/solu

antype,modal,restart      !重启动

mxpand,150,,,NO,,,modc  ! 提取所有模态不评估单元结果

outres,all,none

outres,nsol,all

solve

fini

43.6.2 步骤2 功率谱密度（PSD）分析

使用以下方法对核岛进行PSD分析：

（1）完全相干输入运动，无行波效应。

（2）部分相干输入运动，无行波效应。

（3）具有行波效应的部分相干输入运动。

在每种分析类型中，都考虑相同的地面输入运动。

对于每个区域（基本激励），输入单位节点位移（D），然后计算模态参与系数（PFACT）。这是通过使用APDL-do循环最容易实现的。

必须使用PSD表为每个区域定义基本激励。幅度-频率数据可以用PSD表输入（通过PSDFRQ，它定义了输入频谱的频率点，以及PSDVAL，它定义了输入频谱的PSD值）。图34.4为地面运动功率谱密度（加速度PSD）中定义的PSD曲线必须用作输入谱。此外，输入运动具有加速度单位（通过PSDUNIT定义）。

对于交叉激励，通过将原始（直接）PSD值与平面波相干值相乘来获得PSD共谱值，如图34.5所示为EPRI-TR 1014101——水平方向的平面波相干模型，一个一个频率的（COVAL）。

对于必须考虑行波效应的情况，交叉PSD既有实部（通过COVAL定义）又有虚部（通过QDVAL定义）。这两个项都等于先前的交叉PSD值乘以单位振幅的相量，并且参数等于所考虑的两个位置之间的相移。这种关系可以表示为[2]：

其中，psdwavephavity是具有波通过效应的交叉psd的共谱值，PSDPlaneWave是没有行波效应的交叉PSD的谱值，dij是两个位置i和j之间的距离。

距离dij取决于是否考虑了非相干或行波效应：

（1）对于非相干，dij是两个位置之间的欧几里得距离（即，传统距离）。

（2）对于行波效应，dij是沿传播（方向）矢量的距离。它是向量dij.N的点积，其中dij是节点i和j之间的向量，N是定义传播方向的酉方向向量）。

为简单起见，假设波沿X轴传播。

由于绝对加速度结果是唯一感兴趣的量，因此只请求此单一计算（PSDRES）。

43.6.3 步骤3 评估功率谱密度（PSD）分析的响应（RPSD）

绝对加速度量的PSD响应在POST26后处理器（RPSD）中计算，并绘制在对数刻度上，以得到频率比衰减率，如图34.9所示为非相干和行波效应导致的PSD衰减。

43.7 结果和讨论

通过POST1后处理器（SET, 5, 1）得到整个结构的均方根加速度值。

（A）和（B）表明，地震动非相干对节点解的影响是显著的，并且整体响应已经减小。（B） 以及（C）揭示了考虑行波效应进一步降低了整体响应。

图34.7仅提供有关总体响应减少的信息。为了得到逐频衰减比，比较了在结构不同位置使用相干和非相干输入的加速度响应PSD。

图34.8显示了在五个不同高度（RPSD）的建筑物中心线处获得的响应PSD的比较。

图34.8 估计PSD降低的关键点位置

图34.9显示了级别1、4和5的结果。

图34.9 非相干和行波效应导致的功率谱密度降低

观察结果如下：

（1）在美国东部的岩石场地，地面运动通常表现出10赫Hz及以上频率的高能量含量。当高频地面运动被应用到NPP模型时，预期异相高频模式将根据指定的一致性函数随机分布在基础上。因此，非相干效应降低高频响应。

（2）地震动非相干效应降低了所有频率范围的响应，特别是在10Hz以上的高频范围。对于低于10Hz的频率，非相干和相干接地输入的响应实际上是相同的。

（3）地震动非相干效应和行波效应的联合作用是显著的，它们进一步降低了高频段的响应。

（4）由于许多因素的影响，由于涂抹效应（smearing effect），离激发位置最远的点受非相干输入的影响更大。

43.6.1 性能评估

为了比较分析的并行计算时间和后处理时间，使用了ANSYS14.0和ANSYS14.5。共享内存并行（Shared-memory parallelism，SMP）使用了两个处理器（在批处理运行中通过–np命令调用）。表34.2显示了性能。

表34.2 计算和后处理时间比较

图34.10显示了部分相干输入运动（有或无行波效应）下PSD分析所需的求解时间（协方差矩阵计算）：

图34.10 计算时间比较

图34.11显示了响应PSD计算所需的时间（POST26经过的时间）或PSD分析（在有或无行波效应的情况下，部分相干输入运动）：

图34.11 RPSD计算时间比较（POST26后处理时间）

图34.10和图34.11两幅图都表明，在机械APDL R14.5中，求解和后处理所用的时间大大减少。

有兴趣评估SMP在机械APDLR14.5上的可扩展性，使用不同数量的电脑核数，最多8个核心。

下表显示了不同电脑核数的部分相干输入运动和行波效应的PSD分析的时间。

表34.3 不同电脑核数（R14.5）的计算时间比较

图34.12显示了使用不同核数所需的求解时间（协方差矩阵计算）：

图34.12 不同核数求解时间比较

POST26后处理时间也有相同的趋势。

四核的计算间和后处理时间几乎是两核的一半，这意味着性能提高了大约2倍。类似的比较也在八核和四核运行中观察到。因此可以得出结论，基于共享内存并行（Shared-memory parallelism，SMP）的求解器的可扩展性是好的。

43.8 建议

对于考虑到地震动非相干和行波效应的PSD分析，建议采用以下建议：

（1）根据场地条件选择合适的地面运动输入。此处考虑的地面运动输入是针对岩石类土壤条件的。

（2）根据现场条件，根据位置之间的时间间隔知识选择一致性函数。

（3）网格大小应该能够计算最短波长。

（4）根据所使用的相干模型、中心频率和问题类型，选择合适的区域大小。区域的大小应能捕捉运动的非相干和行波效应。

（5）在基于截止频率的分析和模态密度的研究中，包含适当数量的模态。

（6）使用最少的模态执行一些测试运行，因为分析的成本会快速增长。增长率取决于区域数（或者更具体地说，PSD表的数目）与2的幂，以及模态数，也取决于2的幂。因此，在一次测试运行之后，总的分析持续时间是可预测的。建议共享内存并行（Shared-memory parallelism，SMP）进行求解。

43.9 参考文献

此案例中引用了以下参考文献：

[1] Xu, J. and S. Samaddar. “Case Study: Effect of Soil-Structure Interaction and Ground Motion Incoherency on Nuclear Power Plant Structures.” ASME 2009 Pressure Vessels and Piping Conference. 26-30 July 2009, Prague. Vol. 8. Seismic Engineering, 2009. 369-377.

[2] Abrahamson, N. “Program on Technology Innovation: Spatial Coherency Models for Soil-Structure Interaction.” Electric Power Research Institute. TR 1012968. 2006.

[3] Cremer, L., M. Heckl, and E.E. Ungar.Structure Borne Sound. 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1990.

[4] American Society of Civil Engineers. Seismic Analysis of Safety-Related Structures and Commentary. 1999.

[5] Preumont, A. Random Vibrations and Spectral Analysis. Dordrecht; Boston: Kluwer, 1994.

[6] Ghiocel, D. M. “Stochastic Simulation Methods in Engineering Predictions.” Engineering Design Reliability Handbook. Eds. Nikolaidis, Ghiocel and Singhal. New York: CRC Press, Taylor & Francis, 2005.

43.10 输入文件

此案例使用了以下输入文件：

（1）核岛模型

Dummy_NPP.db——核岛模型数据文件；

EPRI_TR1014101.MAC——根据EPRI-TR 101401，用表3-4和表3-5计算平面波相干值的宏。

（2）PSD分析

PSD_fully_correlation_no_wave_passage.dat—无行波效应的完全相干输入PSD的命令流文件；

PSD_partial_correlation_no_wave_passage.dat—无行波效应的部分相干输入PSD的命令流文件；

PSD_partial_correlation_wave_passage.dat—具有行波效应的部分相干输入PSD的命令流文件。