连续系统是由弹性体元件组成的，以下我们讨论理想弹性体的振动。所谓理想弹性体是指满足以下三个条件的连续系统模型：

• 均匀分布
• 各向同性
• 服从虎克定律

弹性体具有分布的物理参数（质量、阻尼、刚度），弹性体的空间位置需用无数多个点的坐标来确定。也就是说，弹性体具有无限多个自由度。

通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，将会看到：任何一个弹性体具有无限多个自然频率以及与之相应的主振型，这些主振型之间也存在着关于质量和刚度的正交性。弹性体的自由振动也可以表示为各主振动的线性叠加，对于弹性体的动响应分析主振型叠加法仍然是适用的。

弦的振动

波动方程

设理想柔软的细弦张紧于两个固定点之间，张力为T跨长为l，弦单位长度的质量为ρ，两支点连线方向取为x轴，与x轴垂直的方向取为y轴，如图1。

图1 弦振动示意图

设弦的振动发生在xoy平面内，弦的运动可表示为y= y(x,t) 。并假设弦的振动幅度是微小的，即y与∂y/∂x均为小量；在这些假设下，弦的张力T可近似地看作常量。再设重力与阻尼的影响均可略去不计。

在自由振动中，弦的微元dx的受力图，如图2，运动微分方程为

图2 弦振动示意图

故有

整理得

亦称为波动方程。其中c就是弹性波沿弦向的传播速度。

式中

弦的运动还必须满足边界条件

特征方程

描述弦振动的函数y(x,t) 可以分解为空间函数与时间函数的乘积，即

其中X(t)是振型函数，它表示整个弦的振动形态，而Y(t)表征点的振动规律。将上式代入

可得：

要使上式对任意的x与t都成立，必然是二者都等于同一个常数。设这一常数为α，得如下两个常微分方程

取α≡-ω²。于是，上述方程可改写为

可解得

其中C 、D为积分常数，另外，由边界条件得

得

这就是弦振动的特征方程。由此可确定一系列特征值

与此相应，可确定一系列特征函数，亦称振型函数。

与各个特征值相对应，可确定系统的各阶自然频率

弦对应于各阶自然频率的主振动为

而弦的任意一个自由振动都可以表示为这些主振动的叠加，即有

其中各个Ai 与Bi 由运动的初始条件确定。

设在初始时刻t=0有

于是有

利用三角函数的正交性，可得

可见，张紧弦的自由振动，除了基频（最低频率）振动外，还包含频率为基频整数倍的振动。这种倍频振动亦称为谐波振动。

杆的纵向振动

设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。略去杆纵向伸缩而引起的横截面变形。

取杆的纵向作为x轴，各个截面的纵向位移表示为u(x,t)，如图3。杆的微元dx在自由振动中的受力图也在图3中给出。

图3 等截面细直杆的纵向振动示意图

设杆单位体积的质量为ρ，杆长为l，截面积为A，材料的弹性模量为E。再设任一x截面处，纵向应变为ε(x)，纵向张力表示为P(x) ；则由材料力学知

而在x=dx截面处的张力则为

列出杆微元dx的运动方程，得

整理得

其中c²=E/ρ。

仍然采用分离变量法，将u= (x,t)表示为

得到类似于下式的常微分方程组

由此解得U(t) 与X(x) ：

1. 两端固定的杆

这一情形与上节所述弦的振动相似。边界条件为

可得到

2. 两端自由的杆

这时，杆两端的应力必须为零，故边界条件为

由此得

3. 一端固定一端自由的杆

这时，边界条件为

由此得

4. 一端固定一端弹性支承的杆

图4 一端固定一端弹性支承的杆示意图

设弹性支承刚度为k。这时，边界条件为

由此得

从后面一个方程可得

对应于给定的a值，不难找到各个固有频率ωi 的数字解。而与各个ωi 相应的振型函数为

轴的扭转振动

假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。

取圆轴的轴心线作为x轴，图5轴任一x截面处的转角表示为θ(x,t)。设轴长为l，单位体积的质量为ρ，圆截面对其中心的极惯量矩为Ip，材料的剪切弹性模量为G。轴的扭转应变为∂θ/∂x，作用于微元dx 两截面上的扭矩分别为

及

图5 轴扭转振动示意图

列出运动微分方程，可得

整理得

其中c²=G/ρ。这与前面得到的波动方程形式完全一样，故解的形式也一样。

弦的横振、杆的纵振与轴的扭振都导致同一形式的波动方程。它们的运动具有共同的规律，如表1。

表1 弦的横振、杆的纵振与轴的扭振对比表

梁的弯曲振动

梁挠曲线的微分方程

假设梁具有对称平面，且在弯曲振动中梁的轴线（以下称为挠曲线）始终保持在这一对称平面内。取梁未变形时的轴线方向为x轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为y轴（向上为正）。

图6 梁弯曲振动示意图

梁在弯曲振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为

除了理想弹性体与微幅振动的假设外，还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的。梁挠曲线的微分方程可表示为

即

上式就是等截面梁在集度为q的分布力作用下的挠曲线微分方程。

弯曲振动的微分方程

应用达朗伯原理，在梁上加以分布的惯性力为

将上式代入方程

即得等截面梁自由弯曲振动的微分方程

其中a²≡EI /ρ。上式是4阶偏微分方程，也需根据梁的支承情形附加适当的边界条件。所以，在数学上这类问题常称为偏微分方程的边值问题。

常见的边界条件

1. 固支端

该处挠度与转角都为零，即有

2. 铰支端

该处挠度与弯矩都为零，即有

3. 自由端

该处弯矩与剪力都为零，即有

边界条件的分类：

• 几何边界条件：对挠度或转角的限制条件。
• 力边界条件：对弯矩与剪力的限制条件。

弯曲振动的微分方程的解

采用分离变量法。假设等截面梁自由弯曲振动的微分方程的解可表示为

将式上代人等截面梁自由弯曲振动的微分方程，得

要使上式对于任何x与t值都能成立，必须使二者都等于同一个常数，和前面关于波动方程的讨论一样，只有当这一常数取负值时，才有对应于振动运动的解。故可以把这一常数记为-ω² 。

于是有

其通解为：Y(t)=Asinωt+Bcosωt

上式是一个4阶常系数线性常微分方程，它的特征方程为

其特征值为

故方程

通解为

引用双曲函数，可将上述通解改写成

其中C1，C2，C3，C4为积分常数。

这时，边界条件相应地转化为

1. 固支端

2. 铰支端

3. 自由端

在具体考察各种支承情形下梁弯曲振动固有频率与振型函数之前，先将边界条件中要用到的X(x)的各阶导数列出如下：